bd=bf，r是ab中点；△abc和△pqr关于g透视对应，3、线段的比例：bd:cd=(a+c-b):(a+b-c)=cot(b/2):cot(c/2)进而，
1、△abc的内心为i，内切圆与三边切于d、e、f，那么：ae=af，bd=bf，cd=ce
2、设三角形的三边程度分别是a、b、c，那么：bd=bf=(a+c-b)/2
3、线段的比例：bd:cd=(a+c-b):(a+b-c)=cot(b/2):cot(c/2)进而，得到一个三角恒等式：(sina+sinc-sinb):(sina+sinb-sinc)=cot(b/2):cot(c/2)
4、设p是bc的中点，d关于p的对称点是d1，那么：ab+bd1=ac+cd1也就是说，ad1平分△abc的周长。
5、设q是ba中点，r是ab中点；
用上面的方法，同样可以构造出△abc的周长平分线be1和cf1。
6、三角形的三条周长平分线共点，这个点称为△abc的界心，标记为j。
7、设g为△abc的重心，那么，i、g、j三点共线，且jg=2*ig。
8、由此可知，△abc和△pqr关于g透视对应，对应关系是：a、b、c对应p、q、r，i对应j，直线aj对应直线pi。所以，直线pi是△pqr的周长平分线。
9、设pi与qr交于t，那么：a、t、d共线。
10、s(bci):s(cai):s(abi)=a:b:c=sina:sinb:sinc这样可以求出i相对于△abc的重心坐标是(sina:sinb:sinc)。
11、直角三角形的内心：△bac中，ak⊥bc于k，i、m、n分别是△abc、abk、ack的内心，id⊥bc于d，ak交pq于t。
求证：四边形dntm是正方形。
12、设△abc的三边长分别是a、b、c，那么，容易算出：bm:mq=pn:nc=pt:tq=(a*c+c^2):(a*b+b^2)
bd:dc=(a+c-b):(a+b-c)
要证明dntm是正方形，可以先间接证明：
dn//mt//bp
dm//nt//cq
这就需要证明(a+c-b):(a+b-c)=(a*c+c^2):(a*b+b^2)
因为a^2=b^2+c^2，所以容易证明上式成立。
再证明dm=dn。
因为dm=bd*cq/bc，dn=cd*bp/bc，
所以，转而证明：bd:bp=cd:cq
而这一点是比较容易的了。
